Desde los principios de las matemáticas uno de los desafíos fue encontrar la equivalencia del área del círculo con la de un cuadrado, o con la de un rectángulo, o sea hallar la cuadratura del círculo.
Desconocemos el sentido de la afirmación de H.P.Blavatsky que explica que en otros planos de conciencia se puede cuadrar el círculo, y el mismo Giordano hace misteriosas alusiones que más parecen una indicación de un límite, como el método de Arquímedes, que hace la superficie del círculo mayor evidentemente de un polígono al que circunscriba y menor de otro del mismo número de lados en que esté inscrito. Haciendo polígonos de mayor número de lados, cada vez vas acercando el valor de este. Este fue el método tradicional, de gran esfuerzo de cálculo, hasta que el genial Newton ideó un método rápido que es el que hoy mismo permite extraer fácilmente cada vez más decimales de PI. Los egipcios hallaron valores racionales extremamente próximos, por ejemplo, el misterioso y aparentemente sin significado 13, 17, 171, que debe ser una alusión a la fracción egipcia[1]
3+ 1/13 + 1/17 +1/173 = 3.141527…
Aunque no fue hasta el año 1882 que Ferdinando von Lindemann demostró la imposibilidad matemática de hallar la cuadratura del círculo por el método griego de escuadra y compás, y que el número pi es trascendental, o sea que no es la solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.
Y sin embargo Hipócrates de Quios (que no debemos confundirlo con Hipócrates de Cos, padre de la medicina griega), filósofo pitagórico que vivió en torno al 460 a.C., estableció una extraña forma de cuadratura de círculo.
Y no fue esta hazaña su única contribución a la Matemática, sino que según nos explica el gran filósofo neoplatónico Proclo, fue el primer matemático en escribir unos Elementos, aunque los más conocidos sean luego los de Euclides y en reducir el problema de la duplicación del cubo (al que dedicaremos un artículo) a poder hallar dos medias proporcionales sucesivas entre dos magnitudes (Platón diría que este es el único medio de unir el elemento Tierra con el elemento Fuego, en este caso las dos medias proporcionales son el Agua y el Aire sucesivamente).
Con una demostración muy sencilla y elegante estableció que la Lúnula formada por un cuadrado inscrito en una circunferencia y la semicircunferencia generada por el mismo lado del cuadrado (como diámetro), tiene la misma superficie que una cuarta parte de dicho cuadrado. Lo que significa que las cuatro lúnulas del cuadrado suman la misma superficie que el cuadrado mismo.
Recordemos que una Lúnula (semejante el término y la figura a una Luna) es la superficie entre dos arcos de circunferencia cuando esta no es convexa. De las dos, el arco exterior es siempre el de mayor longitud.
El matemático árabe Alhacen (945-1040) amplió esta demostración para todo triángulo rectángulo. Las lúnulas formadas por los catetos (por la semicircunferencia que cada uno de ellos traza) y por la circunferencia en que se hallan inscrita suman la superficie de dicho triángulo, como vemos aquí:
Podemos ver la demostración aquí:
Según Alejandro de Afrodisias y Eudemos exponen, citando a Hipócrates, existen varios tipos de Lunas cuya superficie se puede cuadrar y otras que no.
La primera que hemos hablado es la generada por el cuadrado inscrito en una circunferencia. Esa sí. Luego tenemos la generada por un hexágono, que no lo es.
La lúnula generada por un trapecio de proporción:
sí es cuadrable y su superficie es la del mismo trapecio inscrito. La lúnula generada por un triángulo, sin embargo, no lo es.
La lúnula generada del siguiente modo sí es cuadrable, y equivalente a la figura pentagonal superpuesta A,B,C,D,E. La proporción DC/AB debe ser para ello[4]:
Sin embargo, la siguiente lúnula generada por un hexágono no es cuadrable
Finalmente los matemáticos Tchebatorew en 1934 y Dorodnow en 1947 demostraron que sólo hay cinco tipos de lúnulas cuadrables, según vemos en este artículo
https://www.mathpages.com/home/kmath171/kmath171.htm
Si recordamos ciertos elementos de simbología geométrica podemos hacer interesantes analogías.
El círculo es símbolo de unidad (es la primera forma y la más simple de delimitar un espacio) y al mismo tiempo de trascendencia, de infinitud, pues no tiene principio ni fin, y su causa invisible está en el centro único. Por lo tanto es símbolo del espíritu puro, que ni nace mi muere. Su superficie no puede ser medible de un modo exacto, dados los infinitos decimales de pi, unido a que sea un número trascendental.
El triángulo equilátero representa el Fuego como elemento primordial, la Mente como Logos, el primer polígono que cierra el espacio, en un plano. Es el Ternario.
El Cuadrado representa lo que es estable, lo que se apoya firmemente sobre la tierra, la objetivación de todo elemento y todo proceso en la Naturaleza. Representa el cuaternario de la Personalidad humana, como hijo de la Tierra, con sus cuatro principios sometidos al tiempo, que los desgasta y deshace: Etéreo-Físico, Energético, Astral y Mente Inferior (Kama Manas). Es el 4.
Y aunque en este esquema de la Doctrina Secreta de H.P.Blavatsky no está representada, la Luna estaría entre el círculo y el triángulo.
La Luna o Lúnula geométrica es el símbolo de Budhi, la Luz Espiritual primera, que media entre el ser y su manifestación, el espejo mágico que hace que la unidad infinita se convierta en Naturaleza. Y aquí el simbolismo es muy bello y profundo, pues matemáticamente, aunque hija de la circunferencia, esta ya es doble, como vehículo del ser-unidad, y puede llegar a ser “medida”, como si de este modo sintonizara con las formas de la naturaleza. Como si esta luz divina se prendiese en la red de araña de las formas mentales que van a proyectarse en lo que conocemos como realidad y que puede ser conocido. Que sólo Cinco tipos de Lúnulas puedan ser “cuadradas”, establece de nuevo el vínculo entre el 4 y el 5, pues en numerología sagrada el 5 establece la unión entre lo espiritual y lo material, los anuda, ya que 5 es la suma del primer par y el primer impar (2+3) y genera la pirámide en donde se “atan” el triángulo de las caras y el cuadrado de la base.
Más interesante aún son las lúnulas de Alhacen, pues son lunas de triángulos rectángulos (inscritos siempre en la semicircunferencia, según el teorema de Tales), y que son cuadrables “de a dos”, o sea de dos en dos, sumando sus superficies, lo que lleva a muchas evocaciones filosóficas que un día podemos analizar.
En el simbolismo bíblico y kabalístico Adan es el círculo primero, el Ser, y la Naturaleza es una “costilla”, o sea, una lúnula, como una sección o espejo de este Ser, o sea, la Naturaleza, y no sólo en la Biblia es donde hallamos este mito y simbolismo, pues el jeroglífico egipcio “costilla” significa al mismo tiempo ½ y amado (a), en el sentido de “media naranja”. Vemos también estas lúnulas en las estupas budistas en relación con la sabiduría que todo lo abarca, y como símbolo del Tatva Apas, el Agua-Vida en que se reflejan como en un espejo las Llamas de lo Espiritual.
Jose Carlos Fernandez
[1] Ver la excelente serie de artículos de la Universidad de Búfalo sobre fracciones egipcias http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_egyptian-fractions.html
[2] https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_de_la_l%C3%BAnula
[3] Idem
[4] Ver el artículo https://www.gaussianos.com/las-lunulas-de-hipocrates/
José Carlos Fernández Romero 
Las matemáticas están en todo…que buen artículo y que interesante. Enhorabuena! 🙂