Matemática Sagrada

Los diez tipos de proporción entre los pitagóricos

En el libro excelente de Mathyla Gika, “Filosofía y Mística de los Números”, el autor menciona que entre los pitagóricos había diez tipos de proporciones. Las tres primeras, las más conocidas e importantes ya las hemos visto en otro artículo, son la aritmética, la geométrica (y entre ellas, la proporción por excelencia, el Número de Oro) y la armónica.

Lo que también puede ser representado del siguiente modo, según es fácil demostrar[1]

Proporción aritmética

 

Proporción geométrica

 

Proporción armónica

 

Nos explica que estas tres primeras proporciones ya eran conocidas por los primeros filósofos pitagóricos. Y ya dijimos la importancia de la proporción armónica en el estudio de los intervalos musicales, y de la geométrica en la analogía de Vitrubio, dominando, nos dice las artes visuales.

Eudoxo y los discípulos de Platón aumentaron estas proporciones a seis y los neopitagóricos del siglo I a.C hallaron otras cuatro y las aumentaron a 10, la Década, número que rige el Universo y sus relaciones.

Las otras siete son las siguientes:

Recordemos la importancia que le da Platón a la Proporción cuando en el Timeo dice que: “Es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera; es preciso que exista entre ellas un vínculo que las una”.

Recordemos también que toda proporción es una igualdad de relaciones. Y una relación una comparación de valores, cualitativo (ideas) o de magnitudes (expresadas por números).

O sea una relación asume en matemática la forma de una fracción numérica o algebraica a/b, y una proporción es de la forma

Si a, b, c y d son los números que expresan las magnitudes A, B, C y D respectivamente.

Lo que significa que A es a B como C es a D, que es la llave del Principio de Analogía

Recordemos también que las proporciones son continuas o discontinuas

Y que la proporción continua se puede expresar como una progresión geométrica, por ejemplo

1, 2, 4, 8, 16…

Recordemos también que en la proporción continua a/b = b/c, a y c son llamadas extremas y b media.

Los pitagóricos establecieron diez tipos de relaciones partiendo de a/b que podía asumir 3 formas

Lo que merece, por su importancia un artículo entero en este blog.

Volviendo a las Diez Proporciones, tanto[2] Nicómaco de Gerasa como Theon de Esmirna, ambos filósofos pitagóricos, establecen de manera lógica estas mismas usando el “Principio de Economía” y el del “Mismo y lo Otro”. Ambos permutan de todas las maneras posibles las letras, a, b y c en la expresión inicial

a/b = b/c

Y obtienen las 10 Proporciones mencionadas al inicio de este artículo.

Theon de Esmirna dice:

“Tomaremos, pues, tres magnitudes y las proporciones que se dan en ellas e intercambiaremos los términos y demostraremos que toda la matemática está constituida por las proporciones entre cantidades y que su fuente y sus elementos se resumen en la esencia de su proporción”

Y a su vez Nicómaco de Gerasa:

“El principio que gobierna esas cuestiones de las proporciones puede demostrar que todas las variedades de estas especies puede obtenerse de la igualdad como de una madre y de una raíz…”

Y nos recuerda Matila Ghyka que la Décima Proporción, bajo el disfraz de

Encubre la Serie de Fibonacci, que es la que converge en la Proporción de Oro, pues en esta igualdad, se demuestra fácilmente que

Lo que nos da una serie en que cada término es la suma de los dos anteriores

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 35, 55, 89….

Y de hecho la división de un segmento en media y extrema razón, o sea, en proporción áurea sigue esta misma forma

Y no debe ser casualidad que esta, precisamente sea la Décima Proporción, o sea, la más perfecta de todas, y la que cierra el ciclo, ya que es la que rige, por excelencia la Naturaleza.

 

Jose Carlos Fernández

Almada, 26 de noviembre del 2019


[1] Es muy interesante que incluso la proporción aritmética y la armónica sean expresadas según una forma especial de proporción geométrica, es que ésta es, por excelencia la “analogía”.

[2] Seguimos en este artículo la excelente investigación de Matila Ghyka en el capítulo 5 de su “Filosofía y Mística de los Números”

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